Moritz Pasch

---

Życiorys

Moritz Pasch był wybitnym matematykiem, który studiował na uniwersytecie we Wrocławiu, gdzie uzyskał tytuł doktora. Z czasem podjął pracę jako wykładowca na uniwersytecie w Gießen, gdzie skoncentrował swoje badania na fundamentach geometrii.

W 1882 roku opublikował swoje najważniejsze dzieło, zatytułowane Vorlesungen über neue Geometrie (Wykłady o nowej geometrii), w którym sformułował istotny przykład prawdziwego zdania w geometrii euklidesowej, którego nie można było wyprowadzić z aksjomatów podanych w Elementach Euklidesa. To zdanie, znane jako aksjomat Pascha, można zdefiniować w następujący sposób: prosta na płaszczyźnie, która nie przechodzi przez żaden z wierzchołków trójkąta, a przecina jeden jego bok, musi przecinać także drugi. Jest to intuicyjne stwierdzenie, które wprowadziło nową perspektywę w badania geometrii.

Pasch podkreślił również znaczenie wyodrębnienia podstawowych pojęć w geometrii. Nazwał je Grundbegriff (pojęcie podstawowe), a w trzecim wydaniu swojej książki z 1926 roku zmienił termin na Kernbegriff. Jego badania ujawniły również brak definicji relacji leżenia dla trzech punktów A, B oraz C leżących na jednej prostej, co Pasch uznał za istotne pojęcie niezdefiniowane i wprowadził odpowiednie aksjomaty.

W ocenie Pascha, fakt, że niezależność jego aksjomatu nie została zauważona przez geometrów przez dwa tysiące lat, świadczył o tym, że przy badaniach opierano się na intuicji wynikającej z doświadczenia. Postulował program, który zakładał zerwanie z odwoływaniem się do intuicji w ramach dowodów. Uważał, że chociaż intuicyjne zrozumienie omawianych pojęć może być pomocne (w swoim dziele ilustrował rozważania diagramami), to jednak dowody muszą być sformułowane w sposób, który umożliwia kontrolę ich poprawności bez potrzeby odnoszenia się do wykresów.

Pasch dostrzegał geometrię jako integralną część nauk przyrodniczych, gdzie abstrakcyjne pojęcia geometryczne znajdują swoje źródło w doświadczeniu. Twierdził jednak, że podczas dowodzenia twierdzeń konieczne jest oderwanie się od tych empirycznych źródeł. Sformalizowaną wersję aksjomatyki Pascha zaprezentował Giuseppe Peano w 1889 roku.

W swoim dziele Pasch przedstawił również pierwszy system aksjomatyczny geometrii rzutowej, oparty na relacji incydencji. Kolejnym znaczącym krokiem ku ścisłości w aksjomatycznym podejściu do geometrii euklidesowej była praca Davida Hilberta zatytułowana Grundlagen der Geometrie (Podstawy geometrii), opublikowana w 1899 roku.

---

Oceń: Moritz Pasch

---